È nata a Parigi nel 1982, col nome Bukola Elemide, da genitori nigeriani. All'età di due anni tornò con la famiglia in Nigeria, crescendo a Lagos, nel sudovest del Paese. La madre la iscrisse a una delle migliori scuole della Nigeria; dopo cinque anni di studio Aṣa scoprì Erykah Badu, D'Angelo, Raphael Saadiq, Lauryn Hill, Femi Kuti e Angélique Kidjo, nelle cui orme sognava di cantare. A diciotto anni, anziché frequentare l'università, si iscrisse ad insaputa dei genitori alla Peter King's School of Music, imparando a suonare la chitarra in sei mesi.